Herleitung Druckverlust einer Lochscheibe

Die folgende Herleitung basiert auf der Kontinuitätsgleichung, der Bernoulli-Gleichung sowie dem Ausflussbeiwert C_d. Sie führt zur klassischen Blenden- bzw. Lochscheibengleichung.

1. Kontinuitätsgleichung

Q = A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}

A_{1} = \frac{π}{4} D^{2}

A_{2} = \frac{π}{4} d^{2}

2. Beta-Verhältnis

\frac{A_{2}}{A_{1}} = β^{2}

v_{1} = β^{2} v_{2}

3. Bernoulli-Gleichung

Zwischen der Rohrströmung vor der Lochscheibe und der Öffnung wird die ideale Bernoulli-Gleichung angewendet:

Δp = \frac{ρ}{2} (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})

v_{1} = β^{2} v_{2}

Δp = \frac{ρ}{2} v_{2}^{2} (1 - β^{4})

4. Geschwindigkeit in der Öffnung

v_{2} = \sqrt{\frac{2 Δp}{ρ (1 - β^{4})}}

5. Theoretischer Volumenstrom

Q = A_{2} \sqrt{\frac{2 Δp}{ρ (1 - β^{4})}}

6. Reale Lochscheibe

Aufgrund von Kontraktion, Reibung und Strömungsverlusten wird der Ausflussbeiwert C_d eingeführt:

Q = C_{d} A_{2} \sqrt{\frac{2 Δp}{ρ (1 - β^{4})}}

7. Endgleichung für den Differenzdruck

Δp = \frac{ρ}{2} {(\frac{Q}{C_{d} A_{2}})}^{2} (1 - β^{4})

Dies ist die klassische Gleichung zur Berechnung des Differenzdruck aus Volumenstrom, Dichte, Lochdurchmesser, Rohrdurchmesser und Ausflussbeiwert einer Lochscheibe.

8. Bleibender Druckverlust Δp_B

Der in der Lochscheibe entstehende Differenzdruck wird hinter der Lochscheibe nur teilweise zurückgewonnen. Durch Kontraktion, Turbulenz, Wirbelbildung und Reibung entsteht ein bleibender Druckverlust.

Δp B = ζ \frac{ρ}{2} v_{1}^{2}

Für dünne Lochscheiben kann der Widerstandsbeiwert näherungsweise aus dem Ausflussbeiwert berechnet werden:

ζ = {(\frac{1}{C_{d} β^{2}} - 1)}^{2}

v_{1} = \frac{Q}{A_{1}}

{Δp}_{B} = ζ_{B} \frac{ρ}{2} {(\frac{Q}{A_{1}})}^{2}

Einsetzen des Widerstandsbeiwerts liefert die Endgleichung für den bleibenden Druckverlust Δp_B:

{Δp}_{B} = {(\frac{1}{C_{d} β^{2}} - 1)}^{2} \frac{ρ}{2} {(\frac{Q}{A_{1}})}^{2}

9. Reader-Harris/Gallagher-Korrelation

Für die Bestimmung des Ausflussbeiwert C_d wird die Reader-Harris/Gallagher-Korrelation verwendet.

C_{d} = 0.5961 + 0.0261 β^{2} - 0.216 β^{8} + 0.000521 {(\frac{10^{6} β}{Re})}^{0.7} + (0.0188 + 0.0063 A) β^{3.5} {(\frac{10^{6}}{Re}}^{0.3} + (0.043 + 0.080 e^{- 10 L_{1}} - 0.123 e^{- 7 L_{1}}) (1 - 0.11 A) \frac{β^{4}}{1 - β^{4}} - 0.031 (M_{2} - 0.8 {M_{2}}^{1.1}) β^{1.3}

Reynolds-Zahl

Re = \frac{ρ v_{1} D}{μ}

Hilfsgrößen der RHG-Korrelation

A = {(\frac{19000 β}{Re})}^{0.8}

L_{1} = \frac{25.4}{D}

L_{2} = \frac{25.4}{D}

M_{2} = \frac{2 L_{2}}{1 - β}

Herleitung des Differenzdrucks einer Lochscheibe